Modèle hyperbolique

En 1868, Eugenio Beltrami a fourni des modèles (voir ci-dessous) de la géométrie hyperbolique, et l`a utilisé pour prouver que la géométrie hyperbolique était cohérente si et seulement si la géométrie euclidienne était. Compte tenu de deux points sur la limite du disque unitaire, qui sont traditionnellement appelés points idéaux, la ligne droite les reliant dans le modèle Beltrami – Klein est l`accord entre eux, tandis que dans le modèle Poincaré correspondant, la ligne est un arc circulaire sur le sous-espace bidimensionnel généré par les deux vecteurs de point de démarcation, satisfaisant la limite de la balle à angle droit. Les deux modèles sont reliés par une projection depuis le centre du disque; un rayon du centre passant par un point d`une ligne de modèle passe par le point correspondant de la ligne dans l`autre modèle. Dans les premières années de la relativité, le modèle hyperboloïde a été utilisé par Vladimir Varićak pour expliquer la physique de la vélocité. Dans son discours à l`Union mathématique allemande en 1912, il se réfère aux coordonnées de Weierstrass. les surfaces hyperboliques bidimensionnelles peuvent également être comprises selon la langue des surfaces de Riemann [15]. Selon le théorème d`uniformisation, chaque surface de Riemann est soit elliptique, parabolique ou hyperbolique. La plupart des surfaces hyperboliques ont un groupe fondamental non trivial π1 = Γ; les groupes qui se posent de cette façon sont connus comme des groupes Fuchsiens. L`espace quotient H ²/Γ du demi-plan supérieur modulo le groupe fondamental est connu comme le modèle Fuchsien de la surface hyperbolique.

Le demi-plan Poincaré est également hyperbolique, mais il est simplement relié et non compact. C`est la couverture universelle des autres surfaces hyperboliques. Une fois que nous avons choisi un diagramme de coordonnées (un des «modèles»), nous pouvons toujours l`incorporer dans un espace euclidien de même dimension, mais l`incorporation n`est manifestement pas isométrique (puisque la courbure de l`espace euclidien est 0). L`espace hyperbolique peut être représenté par infiniment beaucoup de graphiques différents; mais les incorporations dans l`espace euclidien en raison de ces quatre graphiques spécifiques montrent quelques caractéristiques intéressantes. De façon abstraite, un modèle d`espace hyperbolique est une tubulure connectée, simplement connectée, équipée d`une métrique riemannienne complète de courbure constante (-1 ). Ce module enregistre les informations suffisantes pour permettre les calculs dans l`espace hyperbolique sans spécifier explicitement l`ensemble sous-jacent ou sa métrique riemannienne. Bien que, voir le projet Sagemaniplis si vous voulez prendre cette approche. Le modèle Beltrami – Klein est obtenu à partir du modèle hyperboloïde en réutilisant tous les vecteurs de façon à ce que la composante temporelle soit 1, c`est-à-dire en projetant l`incorporation hyperboloïde par l`origine sur le plan 0 = 1.

La fonction de distance, sous sa forme homogène, est inchangée. Étant donné que les lignes intrinsèques (géodésiques) du modèle hyperboloïde sont l`intersection de l`incorporation avec des plans à travers l`origine de Minkowski, les lignes intrinsèques du modèle Beltrami – Klein sont les accords de la sphère.

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